Урок "Двоичная система счисления"

 

Представление числовой информации с помощью  позиционных систем счисления

    

     Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

 В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.

       В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

       В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

 

Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание:        

Система счисления

Основание

Алфавит цифр

Десятичная

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двоичная

2

0, 1

Восьмеричная

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), Е(14), F(15)

 

         Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

        Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — количество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

      Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. (Обратите внимание и запомните: пишем число слева направо, а позиции отсчитываются справа налево, т.е. наоборот начинается отсчёт позиции с нуля).

       В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1:

 

А=  an-1qn-1 + … + a0q0 + a-1q-1  + …+ a-mq-m

 

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

 

А=  an-1 … q0 , a-1 … a-m

 

Десятичная система счисления

 

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен. Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

 В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

55510 = 5102 + 5101 + 5100

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

 Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5102 + 5101 + 5100 + 510-1  + 510-2.

 В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А10  =  an-110n-1 + … + a0100 + a-110-1  + …+ a-m10-m

 

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

А10  =  an-1  an-2 … a0 ,  a-1 … a-m

 

Двоичная система счисления

 

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:    А2  = 122 + 021 + 120 + 02-1 +12-2

                 свернутая форма этого же числа:   А2 = 101,012

 

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А=  an-12n-1 + … + a020 + a-12-1  + …+ a-m2-m

 

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

А10  =  an-1  an-2 … a0 ,  a-1 … a-m

 

 

Перевод чисел в позиционных системах счисления

 

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

 

Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления

 

Пример 1.         11012 = 123 + 122 + 021 + 120 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Пример 2.         0,1012 = 12-1 + 02-2 + 12-3 = 1/2 + 0 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,62510

 

                                                                                                        САМОСТОЯТЕЛЬНО:   

 

                                              1) 10,112 =

                                              2) 1010,0112 =

 

 

Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления

 

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Пусть А — целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

- На первом шаге разделим число А   на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно   an-22n-2 + an-32n-3 + … + a1   остаток — равен а0.

- На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен а1.

- Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:    а0, а1; ..., аn-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записанного в свернутой форме:    Аan-1  an-2a0

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

 

Пример1.

Перевести число 1310  в двоичную систему счисления.

 

      1310 = 11012

Пример 2.

Перевести число 9710     в двоичную систему счисления.

 

9710 = 11000012

 

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

 

1) переведите число 4610  в двоичную систему счисления.

2) переведите число 6410  в двоичную систему счисления.

 

 

 

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления.

Пусть А — правильная десятичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2):      А an-12n-1 + … + a020 + a-12-1  + …+ a-m2-m

-  На первом шаге умножим число А на основание двоичной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

        = a-1 + a-12-1  … + a020 + a-12-1  + …+ a-m2-m              а целая часть будет равна a-1 

-  На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2, получим целую часть, равную а-2.

- Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Легко заметить, что последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записанного в свернутой форме:     Аa-1a-2

 

Пример 3.

Перевести число 0,562510      в двоичную систему счисления.

  

       0,562510 = 0,10012

 

Пример 4.

Перевести число 0,910      в двоичную систему счисления.

 

             0,910 = 0,1110012

 

 

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

 

1) переведите число 0,3710  в двоичную систему счисления.

2) переведите число 0,7510  в двоичную систему счисления.

  

 

Алгоритм перевода произвольных чисел 

       Перевод произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная.   В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример 5.
Перевести  18,3410    в двоичную систему счисления.

18,3410 = 10010,01012

   

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

 

1) переведите число 68,1710  в двоичную систему счисления.

2) переведите число 53,4610  в двоичную систему счисления.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

 

     1) переведите число 9110  в двоичную систему счисления.

     2) переведите число 0,5810  в двоичную систему счисления

     3) переведите число 71,2810  в двоичную систему счисления.

Домашнее задание

1) Переведите числа:

                а) 7710   →  ?2                 б) 12610 ?2                               в) 0,7710  ?2                                         г) 0,12610  ?2

                д) 111012   →  ?10           е) 11010002 ?10                       ж) 0,011 ?10                                       з) 0,101 ?10