Урок "Решение логических задач"

 

Логические задачи обычно формулируются на естественном языке.

В этом случае в ходе решения необходимо соблюдать следующие этапы:

1.      Внимательно изучить условие

2.      Выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами

3.      Записать условие задачи на языке алгебры логики

4.      Составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения и приравнять произведение к 1.

5.      Упростить формулу.

6.      Проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых значение функции равно 1.

7.      Записать ответ.

 

Задача 1. Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на красном Рено, Джон сказал, что нарушитель уехал на синей Тойоте, а Сэм показал, что машина была точно не красная и, по всей видимости, это был Форд.

Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

(Ответ записать в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА ЦВЕТ. Например: ЖИГУЛИ БЕЛЫЙ)

 

Решение:

1 способ.

Обозначим высказывания:

     А = машина красного цвета            В = машина была Рено      С = машина была синего цвета      

     D = машина была Тойота                Е = машина была Форд

 

Согласно условию:

- из показаний Боба следует, что   A \/ B  = 1

- из показаний Джона следует, что   C \/ В = 1

             - из показаний Сэма следует, что   А \/ Е = 1

 

             Следовательно, истинна и конъюнкция  (A \/ B) & (C \/ D) & (А \/ Е) = 1.

Раскрывая скобки получим:

(A \/ B) & (C \/ D) & (А \/ Е) = (A & C \/ A & D \/ B & C \/ B & D) & (А \/ Е) =

= (A&C&А) \/ (A\/D&А) \/ (B&C&А) \/ (B&D&А) \/ (A&C&E) \/ (A&D&E) \/ (B&C&E) \/ (B&D&E) =

= 0 \/ 0 \/ 1 \/ 0  \/ 0  \/ 0  \/ 0  \/ 0 = 1

Из полученных 8 слагаемых по условию 7 являются ложными, остается единственное истинное слагаемое: B /\ C /\ А = 1. 

Значит нарушитель уехал на автомобиле Рено синего цвета.

Правильный ответ: РЕНО СИНИЙ

 

2 способ. етод рассуждений)

 

        Предположим, что Боб правильно сообщил цвет, но ошибся в марке. Следовательно, машина красная, но не Рено. Тогда получается, что Джон ошибся в цвете, но верно сообщил марку Тойота.

        Итак, вывод красная Тойота. Но при этом получается, что вопреки условиям задачи Сэм ошибся и в цвете, и в марке.

        Мы пришли к противоречию, значит, исходное предположение было неверным. Отсюда мы заключаем, что Боб верно указал марку, но ошибся в цвете.

        Итак, машина Рено, но не красного цвета.

       Учитывая, что машина точно не Тойота, из показаний Джона вытекает, что машина была синей. При этом выполняется также условие для показаний Сэма.

Правильный ответ: РЕНО СИНИЙ

 

 

Задача 2. Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере встречи выпускников, решили разыграть своего товарища. На его  вопрос, где они теперь живут, друзья ответили:

Олег: я живу в Екатеринбурге, а Борис - в Мурманске.

Борис:   я живу в Волгограде, а Олег - в Мурманске.

Арсений:   я живу в Мурманске, а Олег - в Волгограде.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. Где живут Арсений, Борис и Олег?

(В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном порядке, например ВМЕ.)

 

Решение:

Введем обозначения: О Олег,                    Б Борис,              А Арсений,

                                     Е Екатеринбург,     М Мурманск,      В Волгоград.

      Тогда суждения друзей, с учетом того, что каждый из них оказался прав лишь наполовину, можно записать следующим образом:

Олег: О&Е + Б&М = 1      Борис: Б&В + О&М = 1          Арсений: А&М + О&В = 1

 

Рассмотрим  высказывание Олега: О&Е + Б&М = 1. Возможны  2  случая:

О&Е = 0      или      Б&М = 1

Т.е. Борис живет в Мурманске.

Но этому противоречии высказывание Бориса 

Б&В + О&М = 1

 

 

О&Е = 1      или     Б&М = 0

Тогда из высказывания Арсения    А&М + О&В = 1

следует, что А&М = 1 (т.к. О&В = 0),

т.е. Арсений живет в Мурманске.

Тогда Борис должен жить в Волгограде. Что и следует из высказывания Бориса 

Б&В + О&М = 1 (О&М = 0, значит Б&В = 1)

Арсений живет в Мурманске, Борис в Волгограде, а Олег в Екатеринбурге.

Правильный ответ: МВЕ

 

 

Домашнее задание - решить задачу:

Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили:

Анна:    моего малыша зовут Денис, а Кирилл - сын Ирины.                   

Ирина:  моего сыночка зовут Максим; а Кирилл - сын Анны.

Ольга:   мой мальчик-Кирилл, а сына Анны зовут Максим.

Каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги?

(В ответе перечислите подряд без пробелов буквы, соответствующие именам мальчиков в указанном порядке имен их мам, например КМД.)