Урок  "Составление таблиц истинности"

  

Логические выражения

 

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

 

 

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

 

ПРИМЕР. Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2-2 = 5 или 2-2 = 4) и (2-2*5 или 2 • 2 * 4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:  А = «2 • 2 = 5» — ложно (0), В = «2-2 = 4» — истинно (1).  Тогда составное высказывание можно записать в следую­щей форме:

«(А или В) и (ØА или ØВ)».

 

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения ука­занного порядка могут использоваться скобки:  F = (А v В) & (ØА v ØВ).

 

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции: 

 F = (А v В)&(ØА v ØВ) = (0 v 1)&(1 v 0) = 1 & 1 = 1.

 

 

Логические функции

 

Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(Х1, Х2, ..., Хn), аргументами которой являются логические переменные Х1, Х2, ..., Хn (простые высказывания). Сама функция и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

 

Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора значений аргументов. По формуле мы можем определить, какое количество различных логических функций двух аргументов может существовать:  N = 24 = 16. Таким образом, существует 16 различных логических функций двух аргументов, каждая из которых задается своей таблицей истинности.

 

В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не» используются и некоторые другие: «если... то...», «... тогда и только тогда, когда...» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ, и им соответствуют определенные логические функции.

 

 

Таблицы истинности

 

Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).

 

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий:

Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно n, то:  количество строк = 2n. В нашем случае логическая функция F = (АvВ) & (ØАvØВ) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

 

Таблица истинности логической функции          F  =  (A \/ B) & (ØA \/ ØB)

 

А

В

A \/ B

ØА

ØB

ØА v ØВ

\/В) & ( ØА\/ØВ)

0

0

         

0

1

         

1

0

         

1

1