Урок "Перевод чисел «быстрым алгоритмом»   (8 «« 16)"

 

 

       Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23), и шестнадцатеричной (q = 24)  СС.

 

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления  в восьмеричную

 

Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение: 2 = 2I . Так как 2 = 2I, то I = 1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информа­ции. Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 8 = 2I . Так как  8 = 23, то I = 3 бита. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

 

 

     Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

 

Двоичные триады

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

 

 

Пример 1. Переведем двоичное число 1010012  в восьмеричное:      1101101 2   → 1558

 

Выполните перевод самостоятельно          11110101 2    ?8                   3658

 

 

 

Для перевода правильной дроби двоичного числа  в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

 

Пример 2. Преобразуем  дробное число в восьмеричную сс:   0,101010 2   =  52 8

 

Выполните перевод самостоятельно          0,111110 2    ?8                             76 8

 

 

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

 

Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду).

 

Пример 3.  Преобразуем целое восьмеричное число в двоичную сс:  235  =  100111012 

 

Выполните перевод самостоятельно      132  →  ?2                     0100111012              

 

Пример 4. Преобразуем дробное восьмеричное число в двоичную сс:    0,478   =  0,100 1112

 

Выполните перевод самостоятельно          0,12   ?2                    0,001010 2 

 


Перевод чисел из двоичной системы счисления  в шестнадцатеричную

 

Для записи шестнадцатеричных чисел ис­пользуются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показатель­ное уравнение:   16 = 2I . Так как 16 = 24, то I = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

 

 

    Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями.

 

Двоичные тетрады

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Шестнадцатеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Двоичные тетрады

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Шестнадцатеричные цифры

8

9

A

B

C

D

E

F

 

Пример 5. Переведем целое двоичное число  в шестнадцатеричное:     1101101 2   =  6D 16

 

Выполните перевод самостоятельно          10101112    ?16                       5716

 

 

Для перевода правильной двоичной дроби в шестнадцатеричную необходимо число разбить на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то нужно дополнить ее справа нулями.

 

Пример 6. Переведем дробное двоичное число  шестнадцатеричную сс:    0,101101002   =  В416

 

Выполните перевод самостоятельно          0,11011010 2   ?16                        0,DA16

 

 

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

 

 

Для перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из шестнадцатеричного числа — в группу из четырех цифр (тетраду).

 

Пример 7. Переведем целое шестнадцатеричное число в двоичную сс:     АВ16  = 101010112

 

Выполните перевод самостоятельно          А116     ?2                        10100001

 

Пример 8. Переведем дробное шестнадцатеричное число в двоичную сс:  0,2D16  = 0,1011012

 

Выполните перевод самостоятельно          0,Е116   ?2                        0,1110 00012

 

 

8 « 2 « 16

 

Пример 9. Перевести число 1738  в  16-ю систему:    1738 = 001 111 011 2 = 0111 1011 2 = 7В16

 

Выполните перевод самостоятельно          Е916   ?8                    3518

Выполните перевод самостоятельно          В2,4А16    ?8                    262,2248

 

 

 

ИТАК, для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

 

 

Домашнее задание: выполните перевод в указанную систему «быстрым алгоритмом»

1)   1100110,100112 → ?8       2) 237,338 → ?2       3) 1101111,101112  ?16             4)  5D,2416 → ?2