Урок "Перевод чисел в десятичную  систему счисления"

 

 

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.

 

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

       Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.           

         В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

 Позиционные системы счисления

Система счисления

Основание

Алфавит цифр

Десятичная

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двоичная

2

0, 1

Восьмеричная

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), Е(14), F(15)

     Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

 Позиционные системы счисления с произвольным основанием  

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — количество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

 

Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. (Обратите внимание и запомните: пишем число слева направо, а позиции отсчитываются справа налево, т.е. наоборот. Начинается отсчёт позиции с нуля) В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1:

 

 А=  an-1·qn-1 + … + a0·q0 + a-1·q-1  + …+ a-m·q-m

 

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

 

А=  an-1 … q0 , a-1 … a-m 

 

Десятичная система счисления

 

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

 

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

55510 = 5·102 + 5·101 + 5·100

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

 

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 + 5·10-1  + 5·10-2.

 

 

Двоичная система счисления

 

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А2  = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 +1·2-2.

 

Свернутая форма этого же числа:   А2 = 101,012

  

Перевод чисел  в десятичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел в десятичную систему:

  1. Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
  2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Пример 1.  1011,012 = 1*23 + 0*22 +1*21 +1*20 + 0*22 +1*2-1 = = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 1/4 = 11, 2510

     Пример 2.  67,58 =  6*81 + 7*80 + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55,62510

     Пример 3.  19F,816 =  1*162 + 9*161 + F*160 + 8*16-1 =  1*256 + 9*16 + 15*1 + 1/2 = 415,510

 

ВЫПОЛНЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ

Самостоятельно: Перевести в десятичную систему счисления: 

1) 1001,112             2) 1101,0112               3) 71,48                      4) 303,68                 5) 6Е,2516              6) D4,4816

 

Домашнее задание  - решить задачи: Перевести числа в десятичную систему:

 

1)1101010,1012 ® ?10       2) 1110001,0112 ® ?10         3) 160,338 ®  ?10      4) 235,648 ® ?10      5) 9Е,3116 ® ?10      6) ВF,5516 ® ?10